函数依赖（Functional Dependency）

1. 定义

在关系模式 R(A, B, C, …) 中，如果对于任意两个元组 t₁ 和 t₂ ：

• 若 t₁[A] = t₂[A] ，则 t₁[B] = t₂[B] ，

即属性 A 的值可以唯一确定属性 B 的值，则称 B 函数依赖于 A ，记作：

A → B

函数依赖描述了关系中属性之间的确定性约束。

2. 关键概念

2.1 完全函数依赖

• 定义：若 A → B ，并且 A 的任何真子集都不能决定 B ，则称 B 完全函数依赖于 A 。
• 例子：
  • (ID, Course) → Grade ：学生的学号和课程共同决定成绩。如果去掉其中一个属性（如只用 ID 或 Course），则无法唯一确定成绩。

2.2 部分函数依赖

• 定义：若 A → B ，但 A 的某个真子集也可以决定 B ，则称 B 部分函数依赖于 A 。
• 例子：
  • (ID, Course) → Name ，但 ID → Name ：说明学生的学号单独就能决定学生的名字，这种依赖是不完全的。

2.3 多值依赖

• 定义：在某些关系中，一个属性组不仅能决定另一个属性的唯一值，还能决定其多个可能的值。这种依赖超出了函数依赖的范围。
• 例子：
  • 一个演员可以出演多部电影，演员和电影之间存在多值依赖。

3. 函数依赖的性质

函数依赖的性质包括以下几个重要规则：

1. 自反性（Reflexivity）
   • 若 B ⊆ A ，则 A → B 。
2. 扩展性（Augmentation）
   • 若 A → B ，则 AC → BC （在左右两边同时添加相同的属性）。
3. 传递性（Transitivity）
   • 若 A → B 且 B → C ，则 A → C 。
4. 合并性（Union）
   • 若 A → B 且 A → C ，则 A → BC 。
5. 分解性（Decomposition）
   • 若 A → BC ，则 A → B 且 A → C 。
6. 伪传递性（Pseudo-Transitivity）
   • 若 A → B 且 BC → D ，则 AC → D 。

4. 函数依赖的示例

关系模式 Student(ID, Name, Major, Department, GPA) ，可能有以下依赖关系：

• ID → Name ：学号唯一决定学生的姓名。
• ID → Major ：学号唯一决定学生的专业。
• Major → Department ：专业唯一决定所属的学院。

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传递依赖（Transitive Dependency）

1. 定义

传递依赖是函数依赖的一个特殊形式。对于关系模式 R(A, B, C, …) ：

• 若 A → B 且 B → C ，
• 则存在 A → C 。

在这个过程中，属性 B 是一个中间属性，导致 C 间接依赖于 A 。这种间接依赖被称为传递依赖。

2. 传递依赖的示例

例 1：

考虑一个关系模式 Employee(ID, Department, Manager) ：

• ID → Department ：员工的 ID 唯一决定其部门。
• Department → Manager ：部门唯一决定部门经理。
• 因此， ID → Manager ：员工的 ID 通过部门间接决定经理，这是一个传递依赖。

例 2：

关系模式 Student(ID, Major, Department, Head) ，可能有以下依赖：

• ID → Major ：学生的学号唯一决定专业。
• Major → Department ：专业唯一决定学院。
• Department → Head ：学院唯一决定院长。
• 因此， ID → Head ：学号通过专业和学院间接决定院长。

3. 传递依赖带来的问题

传递依赖容易导致数据冗余和操作异常：

1. 冗余问题
   • 同样的信息存储了多次。例如，某部门的经理信息可能在多行数据中重复出现。
2. 插入异常
   • 如果需要添加一个新部门，但还没有员工，则无法插入，因为必须填入与员工相关的信息。
3. 删除异常
   • 如果删除最后一个员工记录，则部门和经理的信息也会丢失。
4. 更新异常
   • 如果某部门经理换人，则需要更新所有相关记录，否则会导致数据不一致。

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函数依赖与传递依赖的区别

特点	函数依赖	传递依赖
定义	直接的属性依赖关系	间接的属性依赖关系，通过中间属性传递
范围	是属性关系的基础概念	是函数依赖的一种特殊情况
影响	可能会导致数据冗余，但影响较小	可能导致更严重的数据冗余和更新异常
解决方法	通过分解部分依赖和规范化提高数据库质量	通过消除传递依赖（第三范式）优化表结构

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如何消除传递依赖？

在关系数据库中，为了消除传递依赖，可以采用规范化的方式，分解关系表到第三范式（3NF）。

第三范式（3NF）

• 定义：一个关系模式在第二范式的基础上，如果不存在非主属性对候选键的传递依赖，则属于第三范式。
• 简单来说：在3NF中，所有非主属性都应该直接依赖于主键，而不是间接依赖。

消除方法：分解关系模式

将传递依赖的关系分解为多个子关系。例如：

• 关系 R(A, B, C) 中 A → B ，且 B → C ，
• 可以分解为两张表：

1. R₁(A, B) ：存储 A → B 的关系。
2. R₂(B, C) ：存储 B → C 的关系。

这样，传递依赖 A → C 被间接表示，避免了冗余。

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总结

• 函数依赖是描述属性间直接关系的基础概念，包括完全依赖和部分依赖等。
• 传递依赖是函数依赖的扩展，描述属性间的间接关系。
• 函数依赖和传递依赖可能导致数据冗余和更新异常，但通过规范化（如达到3NF或BCNF）可以优化数据库结构，减少冗余，提升效率和一致性。