什么是Armstrong公理

Armstrong公理是一套规则，用来推导“函数依赖”关系。函数依赖是关系数据库设计中的核心概念，它指的是某个属性或属性组合能够决定另一个属性或属性组合的值。例如，如果我们知道某个学生的学号（假设学号是唯一的），那么我们就能知道这个学生的姓名、年龄等其他信息。

基本的Armstrong公理

1. 反射性（Reflexivity）

• 什么是反射性？
  反射性说的是，如果我们有一个属性集 X ，那么 X 总能决定它自己的任意子集 Y 。换句话说，任何属性集都可以决定它本身的某个部分。
• 举个例子：
  假设 X = {A, B} ，那么显然，X 可以决定它自己的一部分，比如 A（因为 A ⊆ {A, B}。因此，X → A 成立。

2. 增广性（Augmentation）

• 什么是增广性？
  增广性说的是，如果一个属性集 X 能决定 Y（即 X → Y ），那么我们可以给 X 和 Y 都加上同样的属性集 Z ，这个依赖关系依然成立。也就是说，如果我们已经知道 X 能决定 Y，那如果我们再加一些其他信息（比如加上 Z ），这个决定关系还是有效的。
• 举个例子：
  假设我们知道 A → B，也就是说，A 决定了 B 。那么，如果我们加上同样的属性集 C ，得到了 { A , C } → { B , C } ，这个依赖关系依然成立。

3. 传递性（Transitivity）

• 什么是传递性？
  传递性说的是，如果 X 能决定 Y ，而 Y 又能决定 Z ，那么 X 就能决定 Z 。这就像数学中的传递关系：如果 A = B 且 B = C ，那么 A = C 。
• 举个例子：
  假设我们知道 A → B ，并且 B → C ，那么根据传递性，我们可以推出 A → C 。这就意味着，如果 A 决定了 B ，而 B 又决定了 C ，那么 A 也能决定 C 。

扩展规则

除了上面这三个基本的公理，Armstrong公理还推导出了其他一些规则，帮助我们更方便地进行推理：

合并律（Union）

• 什么是合并律？
  合并律说的是，如果 X → Y 且 X → Z ，那么我们可以合并 Y 和 Z ，得到 X → YZ 。
• 举个例子：
  如果我们知道 A → B 和 A → C ，那么我们可以得到 A → BC ，也就是说，A 能决定 B 和 C 组合在一起的所有信息。

分解律（Decomposition）

• 什么是分解律？
  分解律是合并律的反向操作。如果 X → YZ ，那么我们可以分解成两个依赖关系：X → Y 和 X → Z 。
• 举个例子：
  假设我们知道 A → BC ，那么我们可以分解出两个独立的依赖关系：A → B 和 A → C 。

伪传递性（Pseudotransitivity）

• 什么是伪传递性？
  伪传递性是传递性的一个扩展。如果 X → Y 且 YZ → W，那么我们可以得出 XZ → W 。这意味着如果 X 决定了 Y ，而 YZ 决定了 W ，那么 XZ 也能决定 W 。
• 举个例子：
  假设我们知道 A → B 和 BC → D ，那么我们可以推出 AC → D 。

总结

Armstrong公理是帮助我们推导函数依赖关系的一组规则。它可以帮助我们从已知的函数依赖关系出发，推导出更多的依赖关系，从而更好地理解数据之间的联系。在数据库设计中，这些规则非常有用，尤其是在规范化过程中，帮助设计出更高效、更一致的数据库结构。