一、 串（字符串）

• 定义：串是一系列字符按照一定顺序组成的有限序列。
  例如：
  串 "hello" 是由字符 h, e, l, l, o 组成的一个序列。
• 特性：
• 串中的字符是有序的。
• 串的长度是字符的个数，包括空格、标点符号等。
• 串可以是空串（长度为 0），记为 ""。
• 表示形式：
• 数学上，字符串常写作 S = “abcd” 。
• 编程中，字符串可能用双引号 " 或单引号 ' 表示，例如："hello" 或 'world'。

二、 子串

• 定义：子串是从一个给定字符串（称为母串）中连续选取若干字符组成的序列。
  例如：
  对于字符串 "hello"，以下是一些合法的子串：
• "h"
• "he"
• "ell"
• "hello"
• 特性：
• 连续性：子串的字符必须是母串中一段连续的字符。
  • 例如：在 "hello" 中，"he" 是子串，但 "ho" 不是子串（因为不连续）。
• 空子串：空串 "" 是任何字符串的子串。
• 子串的长度必须小于等于母串长度。

三、 区别：串与子串

特性	串	子串
定义	字符的一个完整序列	母串中某些连续字符的序列
范围	是一个完整的独立对象	是基于某个母串的一个部分
连续性要求	无连续性要求（整个串就是连续的）	必须是母串中连续的一部分
长度限制	没有限制，视具体情况而定	小于或等于母串的长度

四、 求串中子串的个数

在一个字符串中，子串的总数包含了所有可能的子串，包括空串。

1. 如何计算子串的个数

假设一个字符串的长度为 n ，那么子串的总数计算如下：

1. 非空子串的个数：

• 对于一个长度为 n 的字符串，每个字符都可以是子串的起点，每个起点可以有不同长度的子串。
• 如果我们固定起点，从起点出发的子串数量为：
  

• 对所有起点求和，可以得到总的非空子串数：
  

1. 加上空串：

• 空串也是子串之一。因此，子串总数为：
  

2. 公式总结

对于长度为 n 的字符串，包含空串在内的子串总数为：

3. 举例说明

1. 字符串：”abc”

• 长度 n = 3 。
• 非空子串的总数：
  

• 空串的个数：1
• 总子串数：6 + 1 = 7 。
• 子串列表：["", "a", "b", "c", "ab", "bc", "abc"]。

1. 字符串：”abcd”

• 长度 n = 4 。
• 非空子串的总数：
  

• 空串的个数： 1
• 总子串数： 10 + 1 = 11 。
• 子串列表：["", "a", "b", "c", "d", "ab", "bc", "cd", "abc", "bcd", "abcd"]。

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4. 算法实现

伪代码：

function countSubstrings(string):
    n = length(string)
    total = (n * (n + 1)) / 2  # 非空子串的总数
    return total + 1           # 加上空串

Python代码：

def count_substrings(s):
    n = len(s)
    return (n * (n + 1)) // 2 + 1

# 示例
print(count_substrings("abc"))  # 输出: 7
print(count_substrings("abcd"))  # 输出: 11

5. 复杂度分析

• 公式的推导和实现都是基于字符串长度 n ，没有涉及子串的具体生成。
• 因此，时间复杂度为 O(1) ，空间复杂度也为 O(1) 。

五、 扩展：子串 vs 子序列

很多人会混淆“子串”和“子序列”，但二者有重要区别：

• 子串：必须是母串中连续的字符。
• 子序列：不要求连续，只需要保持字符的相对顺序。
• 例如：对于字符串 "hello"，
  • 子串包括："he", "ell", "hello"。
  • 子序列包括："hlo", "eo", "ho"（不连续也可以）。

六、 总结

• 串 是字符的一个完整有序序列。
• 子串 是从串中连续取出的一部分。
• 子串在数学和编程中广泛应用，它的连续性特性使其区别于子序列。