一、 堆的基本概念

堆是一种完全二叉树，可以分为两种类型：

• 大顶堆（Max Heap）：每个结点的值都大于或等于其左右子结点的值。堆顶（根节点）元素是整个堆中最大的。
• 小顶堆（Min Heap）：每个结点的值都小于或等于其左右子结点的值。堆顶（根节点）元素是整个堆中最小的。

堆排序通常使用大顶堆来实现升序排序。排序时，首先构建大顶堆，然后将堆顶元素与数组最后一个元素交换，再对剩余的部分重新构建大顶堆，如此循环，直到整个序列有序。

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二、 堆排序的主要步骤：

1. 构建大顶堆（Max-Heap）

堆排序首先需要将输入的无序数组调整为一个大顶堆（Max-Heap）。大顶堆的特点是每个父节点的值都大于或等于其左右子节点的值。通过这个过程，我们可以确保堆顶（根节点）的元素是当前堆中最大的。

• 具体步骤：
  • 从最后一个非叶子节点开始，对每个节点进行“堆化”（heapify）操作，直到根节点。堆化的作用是确保每个子树的结构满足堆的性质。
  • 为什么从最后一个非叶子节点开始？
    因为叶子节点本身就是堆，只有非叶子节点可能不满足堆的性质，因此从最后一个非叶子节点开始堆化，可以确保堆化时每个子树都已经是有效的堆。
  假设数组的长度是 n，那么最后一个非叶子节点的索引为 (n // 2) - 1。我们从该节点开始，依次进行堆化，直到堆化到根节点。
• 堆化（Heapify）：
  • 堆化的目标是，确保一个父节点大于其子节点。
  • 对于某个父节点，比较其左右子节点，选出较大的子节点，将父节点与较大的子节点交换位置，递归继续向下堆化，直到堆的性质满足。

2. 排序过程

构建好大顶堆后，我们进入排序阶段。此时，堆顶的元素是当前数组中的最大元素。我们将堆顶元素与数组的最后一个元素交换位置，将最大元素“移出”堆外。然后缩小堆的范围，并对新的堆顶元素执行堆化操作，保证堆顶元素仍然是最大值。重复这个过程，直到堆的大小缩小到 1。

• 具体步骤：
  1. 将堆顶元素（最大元素）与数组的最后一个元素交换。
  2. 将堆的大小减 1（即排好序的部分不再参与堆化）。
  3. 对堆顶元素执行堆化操作，保证剩下的部分仍然是大顶堆。
  4. 重复步骤 1 至步骤 3，直到堆的大小为 1。

3. 堆化的详细过程

堆化是堆排序中非常重要的一步。它的目标是从某个节点开始，调整树的结构使其满足堆的性质（即父节点的值大于或等于子节点的值）。堆化的过程可以分为以下几个步骤：

1. 比较当前节点和其左右子节点的值，找到三者中最大的一个。
2. 如果当前节点的值已经大于或等于其左右子节点的值，则堆化过程结束。
3. 如果当前节点的值小于其子节点，则将当前节点与最大子节点交换。
4. 交换后，需要继续对交换后的子树进行堆化操作，确保堆的性质。

4. 堆排序的完整步骤总结

1. 构建大顶堆：
   • 从最后一个非叶子节点开始，依次对每个节点进行堆化，构建大顶堆。
2. 排序过程：
   • 将堆顶元素与数组的最后一个元素交换，减小堆的大小。
   • 对新的堆顶元素执行堆化，恢复堆的性质。
   • 重复上述过程直到堆的大小为 1。

5. 堆排序的时间复杂度

• 构建堆：需要进行 n / 2 次堆化，每次堆化的时间复杂度为 O(log n)，所以构建大顶堆的时间复杂度为 O(n)。
• 排序过程：每次将堆顶元素与最后一个元素交换后，都需要对剩余的部分执行堆化。每次堆化的时间复杂度为 O(log n)，一共需要执行 n - 1 次交换，因此排序过程的时间复杂度为 O(n log n)。

因此，堆排序的总时间复杂度为 O(n log n)，这是一个较为稳定的时间复杂度。

6. 堆排序的空间复杂度

堆排序是原地排序算法，除了原始数组外，不需要额外的存储空间。所以堆排序的空间复杂度为 O(1)。

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三、 举例讲解

示例数组

假设初始数组为：

[4, 10, 3, 5, 1]

我们目标是使用大顶堆来排序，使得排序后得到升序排列的数组。

第一步：构建大顶堆

1.1 找到最后一个非叶子节点

对于长度 n=5 的数组，最后一个非叶子节点索引为

floor(n/2) - 1 = floor(5/2) - 1 = 2 - 1 = 1

所以从索引 1 开始往前（包括索引 0）依次堆化。

1.2 从索引 1 开始堆化

索引 1 的元素是 10

• 左子节点索引：2 * 1 + 1 = 3，对应元素 5
• 右子节点索引：2 * 1 + 2 = 4，对应元素 1

比较：
10 与 5、1 比较，10 已经大于其两个子节点，无需交换。
堆化后子树保持：[10, 5, 1]（索引 1 及其子节点）不变。

1.3 接下来堆化索引 0

索引 0 的元素是 4

• 左子节点索引：2 * 0 + 1 = 1，对应元素 10
• 右子节点索引：2 * 0 + 2 = 2，对应元素 3

比较：

• 当前节点 4，与左子节点 10 和右子节点 3 比较，最大的值为 10（索引 1）。
• 交换：将 4 与 10 交换，数组变为：

  [10, 4, 3, 5, 1]

1.4 检验并判断是否需要重新堆化

交换后，以原索引 1 的位置（现在值为 4）的子树需要重新堆化：

对于索引 1（当前值 4）：

• 左子节点索引：2 * 1 + 1 = 3，对应元素 5
• 右子节点索引：2 * 1 + 2 = 4，对应元素 1
  比较：
• 在 4、5、1 中，最大值是 5（索引 3），所以交换 4 与 5。
• 交换后数组变为：

  [10, 5, 3, 4, 1]

索引 3（值 4）是叶子节点，无需继续堆化。

1.5 构建大顶堆结果

经过上述堆化过程，整个数组已经构建成大顶堆，数组状态为：

[10, 5, 3, 4, 1]

• 根节点 10 为最大值
• 对应的二叉树结构为：

          10
         /  \
        5    3
       / \
      4   1

第二步：排序过程

排序过程的目标是不断把堆顶（最大值）交换到数组末尾，然后对剩余部分重新堆化。

2.1 第一次交换

• 交换堆顶与最后一个元素
  当前数组：[10, 5, 3, 4, 1]
  交换索引 0 与索引 4（最后一个元素）：
  交换后数组变为：

  [1, 5, 3, 4, 10]

• 说明：此时最大值 10 固定在最后位置，不参与后续堆化。
• 对剩余堆（索引 0 到 3）重新堆化
  子数组为：[1, 5, 3, 4]，堆的大小为 4。

堆化过程：

• 从索引 0 开始堆化。
  索引 0 的元素：1
• 左子节点索引：1，值为 5
• 右子节点索引：2，值为 3
  比较：最大值为 5（索引 1）。
  交换：将 1 与 5 交换，数组变为：

  [5, 1, 3, 4, 10]

继续堆化索引 1（值为 1）：

• 左子节点索引：3，值为 4
• 右子节点索引：4，不在堆的范围内（堆大小为 4）
  比较：最大值为 4（索引 3）。
  交换：将 1 与 4 交换，数组变为：

  [5, 4, 3, 1, 10]

索引 3 为叶子节点，堆化结束。

排序后，堆调整完成，堆为：[5, 4, 3, 1]，根节点为最大值 5。

2.2 第二次交换

• 交换堆顶与堆的最后一个元素
  当前数组：[5, 4, 3, 1, 10]
  交换索引 0 与索引 3：
  交换后数组变为：

  [1, 4, 3, 5, 10]

• 说明：当前最大值 5 固定在正确位置。
• 对剩余堆（索引 0 到 2）重新堆化
  子数组为：[1, 4, 3]，堆大小为 3。

堆化过程：

• 对索引 0（值 1）堆化：
• 左子节点索引：1，值为 4
• 右子节点索引：2，值为 3
  最大值为 4（索引 1）。
  交换：将 1 与 4 交换，数组变为：

  [4, 1, 3, 5, 10]

对索引 1（值 1）：

• 左子节点索引：3，不在堆范围内（堆大小为 3）
  堆化结束。

排序后，堆调整完成，堆为：[4, 1, 3]。

2.3 第三次交换

• 交换堆顶与堆的最后一个元素
  当前数组：[4, 1, 3, 5, 10]
  交换索引 0 与索引 2：
  交换后数组变为：

  [3, 1, 4, 5, 10]

• 固定最大值 4 在位置索引 2。
• 对剩余堆（索引 0 到 1）重新堆化
  子数组为：[3, 1]，堆大小为 2。

堆化过程：

• 对索引 0（值 3）堆化：
• 左子节点索引：1，值为 1
  3 大于 1，无需交换。
  堆化结束。

排序后，堆调整完成，堆为：[3, 1]。

2.4 第四次交换

• 交换堆顶与堆的最后一个元素
  当前数组：[3, 1, 4, 5, 10]
  交换索引 0 与索引 1：
  交换后数组变为：

  [1, 3, 4, 5, 10]

• 此时只剩下一个元素，不需要再堆化。

最终排序结果

经过上述所有交换和堆化，数组最终变为：

[1, 3, 4, 5, 10]

这就是堆排序完成后的结果，数组按升序排列。

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四、 Python 实现示例

以下是一个简单的 Python 实现示例，帮助更好地理解具体实现步骤：

# 堆调整函数
def heapify(arr, heap_size, i):
    # 初始化最大值为当前节点索引
    largest = i
    # 计算左子节点的索引
    left = 2 * i + 1
    # 计算右子节点的索引
    right = 2 * i + 2

    # 如果左子节点存在（索引小于堆大小），且左子节点的值大于当前最大值
    if left < heap_size and arr[left] > arr[largest]:
        # 更新最大值索引为左子节点
        largest = left

    # 如果右子节点存在（索引小于堆大小），且右子节点的值大于当前最大值
    if right < heap_size and arr[right] > arr[largest]:
        # 更新最大值索引为右子节点
        largest = right

    # 如果最大值不是当前节点（说明需要调整）
    if largest != i:
        # 交换当前节点和最大值节点
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        # 递归调整交换后的子树，以保持堆的性质
        heapify(arr, heap_size, largest)

# 堆排序函数
def heap_sort(arr):
    n = len(arr)  # 获取数组长度
    # 构建大顶堆
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        # 从最后一个非叶子节点开始向上调整堆
        heapify(arr, n, i)

    # 排序过程
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        # 将堆顶（最大值）与当前未排序部分的最后一个元素交换
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        # 对剩余未排序部分重新堆化，保持大顶堆性质
        heapify(arr, i, 0)

# 示例用法
if __name__ == "__main__":
    array = [12, 11, 13, 5, 6, 7]  # 定义一个待排序数组
    print("原始数组:", array)  # 输出原始数组
    heap_sort(array)  # 调用堆排序函数对数组进行排序
    print("排序后的数组:", array)  # 输出排序后的数组

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总结

我们可以总结堆排序的关键步骤：

1. 构建大顶堆：

• 从最后一个非叶节点开始，依次对节点进行堆化，构建一个大顶堆。

1. 排序过程：

• 将堆顶（最大值）与数组末尾交换，把最大值固定到正确位置；
• 缩小堆的有效范围，对新的堆顶进行堆化，确保剩余部分仍然是大顶堆；
• 重复以上过程直到排序完成。