二叉树是一种非常重要的树形数据结构，它的特点是每个节点最多有两个子节点。这两个子节点分别被称为左子节点和右子节点。二叉树被广泛应用于算法、数据存储和操作中，比如查找、排序和表达式解析等。

二叉树的定义

1. 节点：二叉树由一组节点组成。每个节点包含以下三部分：
   • 数据域：存储数据的部分。
   • 左子节点指针：指向当前节点的左子节点（如果没有左子节点，则为null）。
   • 右子节点指针：指向当前节点的右子节点（如果没有右子节点，则为null）。

1. 根节点：二叉树的最顶端节点称为根节点（Root）。每棵二叉树有且仅有一个根节点。
2. 空二叉树：如果一棵二叉树没有任何节点，则称为空二叉树。
3. 子树：对于二叉树中的任意一个节点，其左子节点可以看作是一个独立的二叉树，称为左子树；同理，右子节点是右子树。

二叉树的分类

1. 满二叉树：每一层的节点数都达到了最大值，即每个节点要么是叶子节点，要么有两个子节点。
2. 完全二叉树：除了最后一层，所有层的节点数都达到最大值，且最后一层的节点必须从左到右依次排列。
3. 二叉搜索树（BST）：对于任意一个节点，左子树的所有节点值小于当前节点值，右子树的所有节点值大于当前节点值。

二叉树的性质

• 性质1： 在二叉树的第 i 层上至多有 2 ^i-1 （ i ≥ 1 ） 个节点
• 性质2： 深度为 k 的二叉树至多有 2 ^k-1 （ k≥1 ）个结点
• 性质3： 对任何一棵非空二叉树 T ，如果其终端结点（叶子节点）数为 n₀ ，度为2的结点数为 n₂ ，则 n₀ = n₂ + 1
• 性质4： 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log₂ n⌋ + 1
• 性质5：如果二叉树总结点数至少为n，叶子节点数为n₀，则 n = 2 × n₀ – 1
• 性质6： 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 ⌊log₂ n⌋ + 1 ）的结点按层序编号（从第 1 层到第 ⌊log₂ n⌋ + 1 层，每层从左到右），则对任一结点 i （ 1≤i≤ n ） ，以下结论成立：
  • 如果 i=1 ，则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i>1 ，则其双亲 PARENT( i ) 是结点 ⌊i/2⌋
  • 如果 2i>n ，则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点)；否则其左孩子LCHILD( i )是结点 2i
  • 如果 2i+1>n ，则结点 i 无右孩子；否则其右孩子RCHILD( i )是结点 2i+1

二叉树可视化示例

下面是一个简单的二叉树示例：

      1
     / \
    2   3
   / \   \
  4   5   6

• 节点1是根节点。
• 节点2是节点1的左子节点，节点3是节点1的右子节点。
• 节点4、5和6是叶子节点，因为它们没有子节点。